octave_packages/m/signal/arch_fit.m

   1 ## Copyright (C) 1995-2012 Kurt Hornik
   2 ##
   3 ## This file is part of Octave.
   4 ##
   5 ## Octave is free software; you can redistribute it and/or modify it
   6 ## under the terms of the GNU General Public License as published by
   7 ## the Free Software Foundation; either version 3 of the License, or (at
   8 ## your option) any later version.
   9 ##
  10 ## Octave is distributed in the hope that it will be useful, but
  11 ## WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  12 ## MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
  13 ## General Public License for more details.
  14 ##
  15 ## You should have received a copy of the GNU General Public License
  16 ## along with Octave; see the file COPYING.  If not, see
  17 ## <http://www.gnu.org/licenses/>.
  18
  19 ## -*- texinfo -*-
  20 ## @deftypefn {Function File} {[@var{a}, @var{b}] =} arch_fit (@var{y}, @var{x}, @var{p}, @var{iter}, @var{gamma}, @var{a0}, @var{b0})
  21 ## Fit an ARCH regression model to the time series @var{y} using the
  22 ## scoring algorithm in Engle's original ARCH paper.  The model is
  23 ##
  24 ## @example
  25 ## @group
  26 ## y(t) = b(1) * x(t,1) + @dots{} + b(k) * x(t,k) + e(t),
  27 ## h(t) = a(1) + a(2) * e(t-1)^2 + @dots{} + a(p+1) * e(t-p)^2
  28 ## @end group
  29 ## @end example
  30 ##
  31 ## @noindent
  32 ## in which @math{e(t)} is @math{N(0, h(t))}, given a time-series vector
  33 ## @var{y} up to time @math{t-1} and a matrix of (ordinary) regressors
  34 ## @var{x} up to @math{t}.  The order of the regression of the residual
  35 ## variance is specified by @var{p}.
  36 ##
  37 ## If invoked as @code{arch_fit (@var{y}, @var{k}, @var{p})} with a
  38 ## positive integer @var{k}, fit an ARCH(@var{k}, @var{p}) process,
  39 ## i.e., do the above with the @math{t}-th row of @var{x} given by
  40 ##
  41 ## @example
  42 ## [1, y(t-1), @dots{}, y(t-k)]
  43 ## @end example
  44 ##
  45 ## Optionally, one can specify the number of iterations @var{iter}, the
  46 ## updating factor @var{gamma}, and initial values @math{a0} and
  47 ## @math{b0} for the scoring algorithm.
  48 ## @end deftypefn
  49
  50 ## Author: KH <Kurt.Hornik@wu-wien.ac.at>
  51 ## Description: Fit an ARCH regression model
  52
  53 function [a, b] = arch_fit (y, x, p, iter, gamma, a0, b0)
  54
  55   if ((nargin < 3) || (nargin == 6) || (nargin > 7))
  56     print_usage ();
  57   endif
  58
  59   if (! (isvector (y)))
  60     error ("arch_fit: Y must be a vector");
  61   endif
  62
  63   T   = length (y);
  64   y   = reshape (y, T, 1);
  65   [rx, cx] = size (x);
  66   if ((rx == 1) && (cx == 1))
  67     x = autoreg_matrix (y, x);
  68   elseif (! (rx == T))
  69     error ("arch_fit: either rows (X) == length (Y), or X is a scalar");
  70   endif
  71
  72   [T, k] = size (x);
  73
  74   if (nargin == 7)
  75     a   = a0;
  76     b   = b0;
  77     e   = y - x * b;
  78   else
  79     [b, v_b, e] = ols (y, x);
  80     a   = [v_b, (zeros (1, p))]';
  81     if (nargin < 5)
  82       gamma = 0.1;
  83       if (nargin < 4)
  84         iter = 50;
  85       endif
  86     endif
  87   endif
  88
  89   esq = e.^2;
  90   Z   = autoreg_matrix (esq, p);
  91
  92   for i = 1 : iter;
  93     h    = Z * a;
  94     tmp  = esq ./ h.^2 - 1 ./ h;
  95     s    = 1 ./ h(1:T-p);
  96     for j = 1 : p;
  97       s = s - a(j+1) * tmp(j+1:T-p+j);
  98     endfor
  99     r    = 1 ./ h(1:T-p);
 100     for j = 1:p;
 101       r = r + 2 * h(j+1:T-p+j).^2 .* esq(1:T-p);
 102     endfor
 103     r   = sqrt (r);
 104     X_tilde = x(1:T-p, :) .* (r * ones (1,k));
 105     e_tilde = e(1:T-p) .*s ./ r;
 106     delta_b = inv (X_tilde' * X_tilde) * X_tilde' * e_tilde;
 107     b   = b + gamma * delta_b;
 108     e   = y - x * b;
 109     esq = e .^ 2;
 110     Z   = autoreg_matrix (esq, p);
 111     h   = Z * a;
 112     f   = esq ./ h - ones(T,1);
 113     Z_tilde = Z ./ (h * ones (1, p+1));
 114     delta_a = inv (Z_tilde' * Z_tilde) * Z_tilde' * f;
 115     a   = a + gamma * delta_a;
 116   endfor
 117
 118 endfunction