octave_packages/odepkg-0.8.2/ode54d.m

   1 %# Copyright (C) 2008-2012, Thomas Treichl <treichl@users.sourceforge.net>
   2 %# OdePkg - A package for solving ordinary differential equations and more
   3 %#
   4 %# This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   5 %# it under the terms of the GNU General Public License as published by
   6 %# the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
   7 %# (at your option) any later version.
   8 %#
   9 %# This program is distributed in the hope that it will be useful,
  10 %# but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  11 %# MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  12 %# GNU General Public License for more details.
  13 %#
  14 %# You should have received a copy of the GNU General Public License
  15 %# along with this program; If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
  16
  17 %# -*- texinfo -*-
  18 %# @deftypefn  {Function File} {[@var{}] =} ode54d (@var{@@fun}, @var{slot}, @var{init}, @var{lags}, @var{hist}, [@var{opt}], [@var{par1}, @var{par2}, @dots{}])
  19 %# @deftypefnx {Command} {[@var{sol}] =} ode54d (@var{@@fun}, @var{slot}, @var{init}, @var{lags}, @var{hist}, [@var{opt}], [@var{par1}, @var{par2}, @dots{}])
  20 %# @deftypefnx {Command} {[@var{t}, @var{y}, [@var{xe}, @var{ye}, @var{ie}]] =} ode54d (@var{@@fun}, @var{slot}, @var{init}, @var{lags}, @var{hist}, [@var{opt}], [@var{par1}, @var{par2}, @dots{}])
  21 %#
  22 %# This function file can be used to solve a set of non--stiff delay differential equations (non--stiff DDEs) with a modified version of the well known explicit Runge--Kutta method of order (2,3).
  23 %#
  24 %# If this function is called with no return argument then plot the solution over time in a figure window while solving the set of DDEs that are defined in a function and specified by the function handle @var{@@fun}. The second input argument @var{slot} is a double vector that defines the time slot, @var{init} is a double vector that defines the initial values of the states, @var{lags} is a double vector that describes the lags of time, @var{hist} is a double matrix and describes the history of the DDEs, @var{opt} can optionally be a structure array that keeps the options created with the command @command{odeset} and @var{par1}, @var{par2}, @dots{} can optionally be other input arguments of any type that have to be passed to the function defined by @var{@@fun}.
  25 %#
  26 %# In other words, this function will solve a problem of the form
  27 %# @example
  28 %# dy/dt = fun (t, y(t), y(t-lags(1), y(t-lags(2), @dots{})))
  29 %# y(slot(1)) = init
  30 %# y(slot(1)-lags(1)) = hist(1), y(slot(1)-lags(2)) = hist(2), @dots{}
  31 %# @end example
  32 %#
  33 %# If this function is called with one return argument then return the solution @var{sol} of type structure array after solving the set of DDEs. The solution @var{sol} has the fields @var{x} of type double column vector for the steps chosen by the solver, @var{y} of type double column vector for the solutions at each time step of @var{x}, @var{solver} of type string for the solver name and optionally the extended time stamp information @var{xe}, the extended solution information @var{ye} and the extended index information @var{ie} all of type double column vector that keep the informations of the event function if an event function handle is set in the option argument @var{opt}.
  34 %#
  35 %# If this function is called with more than one return argument then return the time stamps @var{t}, the solution values @var{y} and optionally the extended time stamp information @var{xe}, the extended solution information @var{ye} and the extended index information @var{ie} all of type double column vector.
  36 %#
  37 %# For example:
  38 %# @itemize @minus
  39 %# @item
  40 %# the following code solves an anonymous implementation of a chaotic behavior
  41 %#
  42 %# @example
  43 %# fcao = @@(vt, vy, vz) [2 * vz / (1 + vz^9.65) - vy];
  44 %#
  45 %# vopt = odeset ("NormControl", "on", "RelTol", 1e-3);
  46 %# vsol = ode54d (fcao, [0, 100], 0.5, 2, 0.5, vopt);
  47 %#
  48 %# vlag = interp1 (vsol.x, vsol.y, vsol.x - 2);
  49 %# plot (vsol.y, vlag); legend ("fcao (t,y,z)");
  50 %# @end example
  51 %#
  52 %# @item
  53 %# to solve the following problem with two delayed state variables
  54 %#
  55 %# @example
  56 %# d y1(t)/dt = -y1(t)
  57 %# d y2(t)/dt = -y2(t) + y1(t-5)
  58 %# d y3(t)/dt = -y3(t) + y2(t-10)*y1(t-10)
  59 %# @end example
  60 %#
  61 %# one might do the following
  62 %#
  63 %# @example
  64 %# function f = fun (t, y, yd)
  65 %# f(1) = -y(1);                   %% y1' = -y1(t)
  66 %# f(2) = -y(2) + yd(1,1);         %% y2' = -y2(t) + y1(t-lags(1))
  67 %# f(3) = -y(3) + yd(2,2)*yd(1,2); %% y3' = -y3(t) + y2(t-lags(2))*y1(t-lags(2))
  68 %# endfunction
  69 %# T = [0,20]
  70 %# res = ode54d (@@fun, T, [1;1;1], [5, 10], ones (3,2));
  71 %# @end example
  72 %#
  73 %# @end itemize
  74 %# @end deftypefn
  75 %#
  76 %# @seealso{odepkg}
  77
  78 function [varargout] = ode54d (vfun, vslot, vinit, vlags, vhist, varargin)
  79
  80   if (nargin == 0) %# Check number and types of all input arguments
  81     help ('ode54d');
  82     error ('OdePkg:InvalidArgument', ...
  83       'Number of input arguments must be greater than zero');
  84
  85   elseif (nargin < 5)
  86     print_usage;
  87
  88   elseif (~isa (vfun, 'function_handle'))
  89     error ('OdePkg:InvalidArgument', ...
  90       'First input argument must be a valid function handle');
  91
  92   elseif (~isvector (vslot) || length (vslot) < 2)
  93     error ('OdePkg:InvalidArgument', ...
  94       'Second input argument must be a valid vector');
  95
  96   elseif (~isvector (vinit) || ~isnumeric (vinit))
  97     error ('OdePkg:InvalidArgument', ...
  98       'Third input argument must be a valid numerical value');
  99
 100   elseif (~isvector (vlags) || ~isnumeric (vlags))
 101     error ('OdePkg:InvalidArgument', ...
 102       'Fourth input argument must be a valid numerical value');
 103
 104   elseif ~(isnumeric (vhist) || isa (vhist, 'function_handle'))
 105     error ('OdePkg:InvalidArgument', ...
 106       'Fifth input argument must either be numeric or a function handle');
 107
 108   elseif (nargin >= 6)
 109
 110     if (~isstruct (varargin{1}))
 111       %# varargin{1:len} are parameters for vfun
 112       vodeoptions = odeset;
 113       vfunarguments = varargin;
 114
 115     elseif (length (varargin) > 1)
 116       %# varargin{1} is an OdePkg options structure vopt
 117       vodeoptions = odepkg_structure_check (varargin{1}, 'ode54d');
 118       vfunarguments = {varargin{2:length(varargin)}};
 119
 120     else %# if (isstruct (varargin{1}))
 121       vodeoptions = odepkg_structure_check (varargin{1}, 'ode54d');
 122       vfunarguments = {};
 123
 124     end
 125
 126   else %# if (nargin == 5)
 127     vodeoptions = odeset;
 128     vfunarguments = {};
 129   end
 130
 131   %# Start preprocessing, have a look which options have been set in
 132   %# vodeoptions. Check if an invalid or unused option has been set and
 133   %# print warnings.
 134   vslot = vslot(:)'; %# Create a row vector
 135   vinit = vinit(:)'; %# Create a row vector
 136   vlags = vlags(:)'; %# Create a row vector
 137
 138   %# Check if the user has given fixed points of time
 139   if (length (vslot) > 2), vstepsizegiven = true; %# Step size checking
 140   else vstepsizegiven = false; end
 141
 142   %# Get the default options that can be set with 'odeset' temporarily
 143   vodetemp = odeset;
 144
 145   %# Implementation of the option RelTol has been finished. This option
 146   %# can be set by the user to another value than default value.
 147   if (isempty (vodeoptions.RelTol) && ~vstepsizegiven)
 148     vodeoptions.RelTol = 1e-6;
 149     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 150       'Option "RelTol" not set, new value %f is used', vodeoptions.RelTol);
 151   elseif (~isempty (vodeoptions.RelTol) && vstepsizegiven)
 152     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 153       'Option "RelTol" will be ignored if fixed time stamps are given');
 154   %# This implementation has been added to odepkg_structure_check.m
 155   %# elseif (~isscalar (vodeoptions.RelTol) && ~vstepsizegiven)
 156   %# error ('OdePkg:InvalidOption', ...
 157   %#   'Option "RelTol" must be set to a scalar value for this solver');
 158   end
 159
 160   %# Implementation of the option AbsTol has been finished. This option
 161   %# can be set by the user to another value than default value.
 162   if (isempty (vodeoptions.AbsTol) && ~vstepsizegiven)
 163     vodeoptions.AbsTol = 1e-6;
 164     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 165       'Option "AbsTol" not set, new value %f is used', vodeoptions.AbsTol);
 166   elseif (~isempty (vodeoptions.AbsTol) && vstepsizegiven)
 167     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 168       'Option "AbsTol" will be ignored if fixed time stamps are given');
 169   else %# create column vector
 170     vodeoptions.AbsTol = vodeoptions.AbsTol(:);
 171   end
 172
 173   %# Implementation of the option NormControl has been finished. This
 174   %# option can be set by the user to another value than default value.
 175   if (strcmp (vodeoptions.NormControl, 'on')), vnormcontrol = true;
 176   else vnormcontrol = false;
 177   end
 178
 179   %# Implementation of the option NonNegative has been finished. This
 180   %# option can be set by the user to another value than default value.
 181   if (~isempty (vodeoptions.NonNegative))
 182     if (isempty (vodeoptions.Mass)), vhavenonnegative = true;
 183     else
 184       vhavenonnegative = false;
 185       warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 186         'Option "NonNegative" will be ignored if mass matrix is set');
 187     end
 188   else vhavenonnegative = false;
 189   end
 190
 191   %# Implementation of the option OutputFcn has been finished. This
 192   %# option can be set by the user to another value than default value.
 193   if (isempty (vodeoptions.OutputFcn) && nargout == 0)
 194     vodeoptions.OutputFcn = @odeplot;
 195     vhaveoutputfunction = true;
 196   elseif (isempty (vodeoptions.OutputFcn)), vhaveoutputfunction = false;
 197   else vhaveoutputfunction = true;
 198   end
 199
 200   %# Implementation of the option OutputSel has been finished. This
 201   %# option can be set by the user to another value than default value.
 202   if (~isempty (vodeoptions.OutputSel)), vhaveoutputselection = true;
 203   else vhaveoutputselection = false; end
 204
 205   %# Implementation of the option Refine has been finished. This option
 206   %# can be set by the user to another value than default value.
 207   if (isequal (vodeoptions.Refine, vodetemp.Refine)), vhaverefine = true;
 208   else vhaverefine = false; end
 209
 210   %# Implementation of the option Stats has been finished. This option
 211   %# can be set by the user to another value than default value.
 212
 213   %# Implementation of the option InitialStep has been finished. This
 214   %# option can be set by the user to another value than default value.
 215   if (isempty (vodeoptions.InitialStep) && ~vstepsizegiven)
 216     vodeoptions.InitialStep = abs (vslot(1,1) - vslot(1,2)) / 10;
 217     vodeoptions.InitialStep = vodeoptions.InitialStep / 10^vodeoptions.Refine;
 218     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 219       'Option "InitialStep" not set, new value %f is used', vodeoptions.InitialStep);
 220   end
 221
 222   %# Implementation of the option MaxStep has been finished. This option
 223   %# can be set by the user to another value than default value.
 224   if (isempty (vodeoptions.MaxStep) && ~vstepsizegiven)
 225     vodeoptions.MaxStep = abs (vslot(1,1) - vslot(1,length (vslot))) / 10;
 226     %# vodeoptions.MaxStep = vodeoptions.MaxStep / 10^vodeoptions.Refine;
 227     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 228       'Option "MaxStep" not set, new value %f is used', vodeoptions.MaxStep);
 229   end
 230
 231   %# Implementation of the option Events has been finished. This option
 232   %# can be set by the user to another value than default value.
 233   if (~isempty (vodeoptions.Events)), vhaveeventfunction = true;
 234   else vhaveeventfunction = false; end
 235
 236   %# The options 'Jacobian', 'JPattern' and 'Vectorized' will be ignored
 237   %# by this solver because this solver uses an explicit Runge-Kutta
 238   %# method and therefore no Jacobian calculation is necessary
 239   if (~isequal (vodeoptions.Jacobian, vodetemp.Jacobian))
 240     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 241       'Option "Jacobian" will be ignored by this solver');
 242   end
 243   if (~isequal (vodeoptions.JPattern, vodetemp.JPattern))
 244     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 245       'Option "JPattern" will be ignored by this solver');
 246   end
 247   if (~isequal (vodeoptions.Vectorized, vodetemp.Vectorized))
 248     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 249       'Option "Vectorized" will be ignored by this solver');
 250   end
 251   if (~isequal (vodeoptions.NewtonTol, vodetemp.NewtonTol))
 252     warning ('OdePkg:InvalidArgument', ...
 253       'Option "NewtonTol" will be ignored by this solver');
 254   end
 255   if (~isequal (vodeoptions.MaxNewtonIterations,...
 256                 vodetemp.MaxNewtonIterations))
 257     warning ('OdePkg:InvalidArgument', ...
 258       'Option "MaxNewtonIterations" will be ignored by this solver');
 259   end
 260
 261   %# Implementation of the option Mass has been finished. This option
 262   %# can be set by the user to another value than default value.
 263   if (~isempty (vodeoptions.Mass) && isnumeric (vodeoptions.Mass))
 264     vhavemasshandle = false; vmass = vodeoptions.Mass; %# constant mass
 265   elseif (isa (vodeoptions.Mass, 'function_handle'))
 266     vhavemasshandle = true; %# mass defined by a function handle
 267   else %# no mass matrix - creating a diag-matrix of ones for mass
 268     vhavemasshandle = false; %# vmass = diag (ones (length (vinit), 1), 0);
 269   end
 270
 271   %# Implementation of the option MStateDependence has been finished.
 272   %# This option can be set by the user to another value than default
 273   %# value.
 274   if (strcmp (vodeoptions.MStateDependence, 'none'))
 275     vmassdependence = false;
 276   else vmassdependence = true;
 277   end
 278
 279   %# Other options that are not used by this solver. Print a warning
 280   %# message to tell the user that the option(s) is/are ignored.
 281   if (~isequal (vodeoptions.MvPattern, vodetemp.MvPattern))
 282     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 283       'Option "MvPattern" will be ignored by this solver');
 284   end
 285   if (~isequal (vodeoptions.MassSingular, vodetemp.MassSingular))
 286     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 287       'Option "MassSingular" will be ignored by this solver');
 288   end
 289   if (~isequal (vodeoptions.InitialSlope, vodetemp.InitialSlope))
 290     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 291       'Option "InitialSlope" will be ignored by this solver');
 292   end
 293   if (~isequal (vodeoptions.MaxOrder, vodetemp.MaxOrder))
 294     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 295       'Option "MaxOrder" will be ignored by this solver');
 296   end
 297   if (~isequal (vodeoptions.BDF, vodetemp.BDF))
 298     warning ('OdePkg:InvalidOption', ...
 299       'Option "BDF" will be ignored by this solver');
 300   end
 301
 302   %# Starting the initialisation of the core solver ode54d
 303   vtimestamp  = vslot(1,1);           %# timestamp = start time
 304   vtimelength = length (vslot);       %# length needed if fixed steps
 305   vtimestop   = vslot(1,vtimelength); %# stop time = last value
 306
 307   if (~vstepsizegiven)
 308     vstepsize = vodeoptions.InitialStep;
 309     vminstepsize = (vtimestop - vtimestamp) / (1/eps);
 310   else %# If step size is given then use the fixed time steps
 311     vstepsize = abs (vslot(1,1) - vslot(1,2));
 312     vminstepsize = eps; %# vslot(1,2) - vslot(1,1) - eps;
 313   end
 314
 315   vretvaltime = vtimestamp; %# first timestamp output
 316   if (vhaveoutputselection) %# first solution output
 317     vretvalresult = vinit(vodeoptions.OutputSel);
 318   else vretvalresult = vinit;
 319   end
 320
 321   %# Initialize the OutputFcn
 322   if (vhaveoutputfunction)
 323     feval (vodeoptions.OutputFcn, vslot', ...
 324       vretvalresult', 'init', vfunarguments{:});
 325   end
 326
 327   %# Initialize the History
 328   if (isnumeric (vhist))
 329     vhmat = vhist;
 330     vhavehistnumeric = true;
 331   else %# it must be a function handle
 332     for vcnt = 1:length (vlags);
 333       vhmat(:,vcnt) = feval (vhist, (vslot(1)-vlags(vcnt)), vfunarguments{:});
 334     end
 335     vhavehistnumeric = false;
 336   end
 337
 338   %# Initialize DDE variables for history calculation
 339   vsaveddetime = [vtimestamp - vlags, vtimestamp]';
 340   vsaveddeinput = [vhmat, vinit']';
 341   vsavedderesult = [vhmat, vinit']';
 342
 343   %# Initialize the EventFcn
 344   if (vhaveeventfunction)
 345     odepkg_event_handle (vodeoptions.Events, vtimestamp, ...
 346       {vretvalresult', vhmat}, 'init', vfunarguments{:});
 347   end
 348
 349   vpow = 1/5;                   %# 20071016, reported by Luis Randez
 350   va = [0, 0, 0, 0, 0, 0;       %# The Dormand-Prince 5(4) coefficients
 351         1/5, 0, 0, 0, 0, 0;     %# Coefficients proved on 20060827
 352         3/40, 9/40, 0, 0, 0, 0; %# See p.91 in Ascher & Petzold
 353         44/45, -56/15, 32/9, 0, 0, 0;
 354         19372/6561, -25360/2187, 64448/6561, -212/729, 0, 0;
 355         9017/3168, -355/33, 46732/5247, 49/176, -5103/18656, 0;
 356         35/384, 0, 500/1113, 125/192, -2187/6784, 11/84];
 357   %# 4th and 5th order b-coefficients
 358   vb4 = [35/384; 0; 500/1113; 125/192; -2187/6784; 11/84; 0];
 359   vb5 = [5179/57600; 0; 7571/16695; 393/640; -92097/339200; 187/2100; 1/40];
 360   vc = sum (va, 2);
 361
 362   %# The solver main loop - stop if the endpoint has been reached
 363   vcntloop = 2; vcntcycles = 1; vu = vinit; vk = vu' * zeros(1,7);
 364   vcntiter = 0; vunhandledtermination = true;
 365   while ((vtimestamp < vtimestop && vstepsize >= vminstepsize))
 366
 367     %# Hit the endpoint of the time slot exactely
 368     if ((vtimestamp + vstepsize) > vtimestop)
 369       vstepsize = vtimestop - vtimestamp; end
 370
 371     %# Estimate the seven results when using this solver
 372     for j = 1:7
 373       vthetime  = vtimestamp + vc(j,1) * vstepsize;
 374       vtheinput = vu' + vstepsize * vk(:,1:j-1) * va(j,1:j-1)';
 375       %# Claculate the history values (or get them from an external
 376       %# function) that are needed for the next step of solving
 377       if (vhavehistnumeric)
 378         for vcnt = 1:length (vlags)
 379           %# Direct implementation of a 'quadrature cubic Hermite interpolation'
 380           %# found at the Faculty for Mathematics of the University of Stuttgart
 381           %# http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage1269
 382           vnumb = find (vthetime - vlags(vcnt) >= vsaveddetime);
 383           velem = min (vnumb(end), length (vsaveddetime) - 1);
 384           vstep = vsaveddetime(velem+1) - vsaveddetime(velem);
 385           vdiff = (vthetime - vlags(vcnt) - vsaveddetime(velem)) / vstep;
 386           vsubs = 1 - vdiff;
 387           %# Calculation of the coefficients for the interpolation algorithm
 388           vua = (1 + 2 * vdiff) * vsubs^2;
 389           vub = (3 - 2 * vdiff) * vdiff^2;
 390           vva = vstep * vdiff * vsubs^2;
 391           vvb = -vstep * vsubs * vdiff^2;
 392           vhmat(:,vcnt) = vua * vsaveddeinput(velem,:)' + ...
 393               vub * vsaveddeinput(velem+1,:)' + ...
 394               vva * vsavedderesult(velem,:)' + ...
 395               vvb * vsavedderesult(velem+1,:)';
 396         end
 397       else %# the history must be a function handle
 398         for vcnt = 1:length (vlags)
 399           vhmat(:,vcnt) = feval ...
 400             (vhist, vthetime - vlags(vcnt), vfunarguments{:});
 401         end
 402       end
 403
 404       if (vhavemasshandle)   %# Handle only the dynamic mass matrix,
 405         if (vmassdependence) %# constant mass matrices have already
 406           vmass = feval ...  %# been set before (if any)
 407             (vodeoptions.Mass, vthetime, vtheinput, vfunarguments{:});
 408         else                 %# if (vmassdependence == false)
 409           vmass = feval ...  %# then we only have the time argument
 410             (vodeoptions.Mass, vthetime, vfunarguments{:});
 411         end
 412         vk(:,j) = vmass \ feval ...
 413           (vfun, vthetime, vtheinput, vhmat, vfunarguments{:});
 414       else
 415         vk(:,j) = feval ...
 416           (vfun, vthetime, vtheinput, vhmat, vfunarguments{:});
 417       end
 418     end
 419
 420     %# Compute the 4th and the 5th order estimation
 421     y4 = vu' + vstepsize * (vk * vb4);
 422     y5 = vu' + vstepsize * (vk * vb5);
 423     if (vhavenonnegative)
 424       vu(vodeoptions.NonNegative) = abs (vu(vodeoptions.NonNegative));
 425       y4(vodeoptions.NonNegative) = abs (y4(vodeoptions.NonNegative));
 426       y5(vodeoptions.NonNegative) = abs (y5(vodeoptions.NonNegative));
 427     end
 428     vSaveVUForRefine = vu;
 429
 430     %# Calculate the absolute local truncation error and the acceptable error
 431     if (~vstepsizegiven)
 432       if (~vnormcontrol)
 433         vdelta = y5 - y4;
 434         vtau = max (vodeoptions.RelTol * vu', vodeoptions.AbsTol);
 435       else
 436         vdelta = norm (y5 - y4, Inf);
 437         vtau = max (vodeoptions.RelTol * max (norm (vu', Inf), 1.0), ...
 438                     vodeoptions.AbsTol);
 439       end
 440     else %# if (vstepsizegiven == true)
 441       vdelta = 1; vtau = 2;
 442     end
 443
 444     %# If the error is acceptable then update the vretval variables
 445     if (all (vdelta <= vtau))
 446       vtimestamp = vtimestamp + vstepsize;
 447       vu = y5'; %# MC2001: the higher order estimation as "local extrapolation"
 448       vretvaltime(vcntloop,:) = vtimestamp;
 449       if (vhaveoutputselection)
 450         vretvalresult(vcntloop,:) = vu(vodeoptions.OutputSel);
 451       else
 452         vretvalresult(vcntloop,:) = vu;
 453       end
 454       vcntloop = vcntloop + 1; vcntiter = 0;
 455
 456       %# Update DDE values for next history calculation
 457       vsaveddetime(end+1) = vtimestamp;
 458       vsaveddeinput(end+1,:) = vtheinput';
 459       vsavedderesult(end+1,:) = vu;
 460
 461       %# Call plot only if a valid result has been found, therefore this
 462       %# code fragment has moved here. Stop integration if plot function
 463       %# returns false
 464       if (vhaveoutputfunction)
 465         if (vhaverefine)                  %# Do interpolation
 466           for vcnt = 0:vodeoptions.Refine %# Approximation between told and t
 467             vapproxtime = (vcnt + 1) * vstepsize / (vodeoptions.Refine + 2);
 468             vapproxvals = vSaveVUForRefine' + vapproxtime * (vk * vb5);
 469             if (vhaveoutputselection)
 470               vapproxvals = vapproxvals(vodeoptions.OutputSel);
 471             end
 472             feval (vodeoptions.OutputFcn, (vtimestamp - vstepsize) + vapproxtime, ...
 473               vapproxvals, [], vfunarguments{:});
 474           end
 475         end
 476         vpltret = feval (vodeoptions.OutputFcn, vtimestamp, ...
 477           vretvalresult(vcntloop-1,:)', [], vfunarguments{:});
 478         if (vpltret), vunhandledtermination = false; break; end
 479       end
 480
 481       %# Call event only if a valid result has been found, therefore this
 482       %# code fragment has moved here. Stop integration if veventbreak is
 483       %# true
 484       if (vhaveeventfunction)
 485         vevent = ...
 486           odepkg_event_handle (vodeoptions.Events, vtimestamp, ...
 487             {vu(:), vhmat}, [], vfunarguments{:});
 488         if (~isempty (vevent{1}) && vevent{1} == 1)
 489           vretvaltime(vcntloop-1,:) = vevent{3}(end,:);
 490           vretvalresult(vcntloop-1,:) = vevent{4}(end,:);
 491           vunhandledtermination = false; break;
 492         end
 493       end
 494     end %# If the error is acceptable ...
 495
 496     %# Update the step size for the next integration step
 497     if (~vstepsizegiven)
 498       %# vdelta may be 0 or even negative - could be an iteration problem
 499       vdelta = max (vdelta, eps);
 500       vstepsize = min (vodeoptions.MaxStep, ...
 501         min (0.8 * vstepsize * (vtau ./ vdelta) .^ vpow));
 502     elseif (vstepsizegiven)
 503       if (vcntloop < vtimelength)
 504         vstepsize = vslot(1,vcntloop-1) - vslot(1,vcntloop-2);
 505       end
 506     end
 507
 508     %# Update counters that count the number of iteration cycles
 509     vcntcycles = vcntcycles + 1; %# Needed for postprocessing
 510     vcntiter = vcntiter + 1;     %# Needed to find iteration problems
 511
 512     %# Stop solving because the last 1000 steps no successful valid
 513     %# value has been found
 514     if (vcntiter >= 5000)
 515       error (['Solving has not been successful. The iterative', ...
 516         ' integration loop exited at time t = %f before endpoint at', ...
 517         ' tend = %f was reached. This happened because the iterative', ...
 518         ' integration loop does not find a valid solution at this time', ...
 519         ' stamp. Try to reduce the value of "InitialStep" and/or', ...
 520         ' "MaxStep" with the command "odeset".\n'], vtimestamp, vtimestop);
 521     end
 522
 523   end %# The main loop
 524
 525   %# Check if integration of the ode has been successful
 526   if (vtimestamp < vtimestop)
 527     if (vunhandledtermination == true)
 528       error (['Solving has not been successful. The iterative', ...
 529         ' integration loop exited at time t = %f', ...
 530         ' before endpoint at tend = %f was reached. This may', ...
 531         ' happen if the stepsize grows smaller than defined in', ...
 532         ' vminstepsize. Try to reduce the value of "InitialStep" and/or', ...
 533         ' "MaxStep" with the command "odeset".\n'], vtimestamp, vtimestop);
 534     else
 535       warning ('OdePkg:HideWarning', ...
 536         ['Solver has been stopped by a call of "break" in', ...
 537          ' the main iteration loop at time t = %f before endpoint at', ...
 538          ' tend = %f was reached. This may happen because the @odeplot', ...
 539          ' function returned "true" or the @event function returned "true".'], ...
 540          vtimestamp, vtimestop);
 541     end
 542   end
 543
 544   %# Postprocessing, do whatever when terminating integration algorithm
 545   if (vhaveoutputfunction) %# Cleanup plotter
 546     feval (vodeoptions.OutputFcn, vtimestamp, ...
 547       vretvalresult(vcntloop-1,:)', 'done', vfunarguments{:});
 548   end
 549   if (vhaveeventfunction)  %# Cleanup event function handling
 550     odepkg_event_handle (vodeoptions.Events, vtimestamp, ...
 551       {vretvalresult(vcntloop-1,:), vhmat}, 'done', vfunarguments{:});
 552   end
 553
 554   %# Print additional information if option Stats is set
 555   if (strcmp (vodeoptions.Stats, 'on'))
 556     vhavestats = true;
 557     vnsteps    = vcntloop-2;                    %# vcntloop from 2..end
 558     vnfailed   = (vcntcycles-1)-(vcntloop-2)+1; %# vcntcycl from 1..end
 559     vnfevals   = 7*(vcntcycles-1);              %# number of ode evaluations
 560     vndecomps  = 0;                             %# number of LU decompositions
 561     vnpds      = 0;                             %# number of partial derivatives
 562     vnlinsols  = 0;                             %# no. of solutions of linear systems
 563     %# Print cost statistics if no output argument is given
 564     if (nargout == 0)
 565       vmsg = fprintf (1, 'Number of successful steps: %d', vnsteps);
 566       vmsg = fprintf (1, 'Number of failed attempts:  %d', vnfailed);
 567       vmsg = fprintf (1, 'Number of function calls:   %d', vnfevals);
 568     end
 569   else vhavestats = false;
 570   end
 571
 572   if (nargout == 1)                 %# Sort output variables, depends on nargout
 573     varargout{1}.x = vretvaltime;   %# Time stamps are saved in field x
 574     varargout{1}.y = vretvalresult; %# Results are saved in field y
 575     varargout{1}.solver = 'ode54d'; %# Solver name is saved in field solver
 576     if (vhaveeventfunction)
 577       varargout{1}.ie = vevent{2};  %# Index info which event occured
 578       varargout{1}.xe = vevent{3};  %# Time info when an event occured
 579       varargout{1}.ye = vevent{4};  %# Results when an event occured
 580     end
 581     if (vhavestats)
 582       varargout{1}.stats = struct;
 583       varargout{1}.stats.nsteps   = vnsteps;
 584       varargout{1}.stats.nfailed  = vnfailed;
 585       varargout{1}.stats.nfevals  = vnfevals;
 586       varargout{1}.stats.npds     = vnpds;
 587       varargout{1}.stats.ndecomps = vndecomps;
 588       varargout{1}.stats.nlinsols = vnlinsols;
 589     end
 590   elseif (nargout == 2)
 591     varargout{1} = vretvaltime;     %# Time stamps are first output argument
 592     varargout{2} = vretvalresult;   %# Results are second output argument
 593   elseif (nargout == 5)
 594     varargout{1} = vretvaltime;     %# Same as (nargout == 2)
 595     varargout{2} = vretvalresult;   %# Same as (nargout == 2)
 596     varargout{3} = [];              %# LabMat doesn't accept lines like
 597     varargout{4} = [];              %# varargout{3} = varargout{4} = [];
 598     varargout{5} = [];
 599     if (vhaveeventfunction)
 600       varargout{3} = vevent{3};     %# Time info when an event occured
 601       varargout{4} = vevent{4};     %# Results when an event occured
 602       varargout{5} = vevent{2};     %# Index info which event occured
 603     end
 604   %# else nothing will be returned, varargout{1} undefined
 605   end
 606
 607 %! # We are using a "pseudo-DDE" implementation for all tests that
 608 %! # are done for this function. We also define an Events and a
 609 %! # pseudo-Mass implementation. For further tests we also define a
 610 %! # reference solution (computed at high accuracy) and an OutputFcn.
 611 %!function [vyd] = fexp (vt, vy, vz, varargin)
 612 %!  vyd(1,1) = exp (- vt) - vz(1); %# The DDEs that are
 613 %!  vyd(2,1) = vy(1) - vz(2);      %# used for all examples
 614 %!function [vval, vtrm, vdir] = feve (vt, vy, vz, varargin)
 615 %!  vval = fexp (vt, vy, vz); %# We use the derivatives
 616 %!  vtrm = zeros (2,1);       %# don't stop solving here
 617 %!  vdir = ones (2,1);        %# in positive direction
 618 %!function [vval, vtrm, vdir] = fevn (vt, vy, vz, varargin)
 619 %!  vval = fexp (vt, vy, vz); %# We use the derivatives
 620 %!  vtrm = ones (2,1);        %# stop solving here
 621 %!  vdir = ones (2,1);        %# in positive direction
 622 %!function [vmas] = fmas (vt, vy, vz, varargin)
 623 %!  vmas =  [1, 0; 0, 1];     %# Dummy mass matrix for tests
 624 %!function [vmas] = fmsa (vt, vy, vz, varargin)
 625 %!  vmas = sparse ([1, 0; 0, 1]); %# A dummy sparse matrix
 626 %!function [vref] = fref ()       %# The reference solution
 627 %!  vref = [0.12194462133618, 0.01652432423938];
 628 %!function [vout] = fout (vt, vy, vflag, varargin)
 629 %!  if (regexp (char (vflag), 'init') == 1)
 630 %!    if (any (size (vt) ~= [2, 1])) error ('"fout" step "init"'); end
 631 %!  elseif (isempty (vflag))
 632 %!    if (any (size (vt) ~= [1, 1])) error ('"fout" step "calc"'); end
 633 %!    vout = false;
 634 %!  elseif (regexp (char (vflag), 'done') == 1)
 635 %!    if (any (size (vt) ~= [1, 1])) error ('"fout" step "done"'); end
 636 %!  else error ('"fout" invalid vflag');
 637 %!  end
 638 %!
 639 %! %# Turn off output of warning messages for all tests, turn them on
 640 %! %# again if the last test is called
 641 %!error %# input argument number one
 642 %!  warning ('off', 'OdePkg:InvalidOption');
 643 %!  B = ode54d (1, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0]);
 644 %!error %# input argument number two
 645 %!  B = ode54d (@fexp, 1, [1; 0], 1, [1; 0]);
 646 %!error %# input argument number three
 647 %!  B = ode54d (@fexp, [0 5], 1, 1, [1; 0]);
 648 %!error %# input argument number four
 649 %!  B = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], [1; 1], [1; 0]);
 650 %!error %# input argument number five
 651 %!  B = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, 1);
 652 %!test %# one output argument
 653 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0]);
 654 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 655 %!  assert (isfield (vsol, 'solver'));
 656 %!  assert (vsol.solver, 'ode54d');
 657 %!test %# two output arguments
 658 %!  [vt, vy] = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0]);
 659 %!  assert ([vt(end), vy(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 660 %!test %# five output arguments and no Events
 661 %!  [vt, vy, vxe, vye, vie] = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0]);
 662 %!  assert ([vt(end), vy(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 663 %!  assert ([vie, vxe, vye], []);
 664 %!test %# anonymous function instead of real function
 665 %!  faym = @(vt, vy, vz) [exp(-vt) - vz(1); vy(1) - vz(2)];
 666 %!  vsol = ode54d (faym, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0]);
 667 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 668 %!test %# extra input arguments passed trhough
 669 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], 'KL');
 670 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 671 %!test %# empty OdePkg structure *but* extra input arguments
 672 %!  vopt = odeset;
 673 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt, 12, 13, 'KL');
 674 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 675 %!error %# strange OdePkg structure
 676 %!  vopt = struct ('foo', 1);
 677 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 678 %!test %# AbsTol option
 679 %!  vopt = odeset ('AbsTol', 1e-5);
 680 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 681 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 682 %!test %# AbsTol and RelTol option
 683 %!  vopt = odeset ('AbsTol', 1e-7, 'RelTol', 1e-7);
 684 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 685 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 686 %!test %# RelTol and NormControl option
 687 %!  vopt = odeset ('AbsTol', 1e-7, 'NormControl', 'on');
 688 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 689 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], .5e-1);
 690 %!test %# NonNegative for second component
 691 %!  vopt = odeset ('NonNegative', 1);
 692 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 2.5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 693 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [2.5, 0.001, 0.237], 1e-1);
 694 %!test %# Details of OutputSel and Refine can't be tested
 695 %!  vopt = odeset ('OutputFcn', @fout, 'OutputSel', 1, 'Refine', 5);
 696 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 2.5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 697 %!test %# Stats must add further elements in vsol
 698 %!  vopt = odeset ('Stats', 'on');
 699 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 2.5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 700 %!  assert (isfield (vsol, 'stats'));
 701 %!  assert (isfield (vsol.stats, 'nsteps'));
 702 %!test %# InitialStep option
 703 %!  vopt = odeset ('InitialStep', 1e-8);
 704 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 705 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 706 %!test %# MaxStep option
 707 %!  vopt = odeset ('MaxStep', 1e-2);
 708 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 709 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 710 %!test %# Events option add further elements in vsol
 711 %!  vopt = odeset ('Events', @feve);
 712 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 713 %!  assert (isfield (vsol, 'ie'));
 714 %!  assert (vsol.ie, [1; 1]);
 715 %!  assert (isfield (vsol, 'xe'));
 716 %!  assert (isfield (vsol, 'ye'));
 717 %!test %# Events option, now stop integration
 718 %!  warning ('off', 'OdePkg:HideWarning');
 719 %!  vopt = odeset ('Events', @fevn, 'NormControl', 'on');
 720 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 721 %!  assert ([vsol.ie, vsol.xe, vsol.ye], ...
 722 %!    [1.0000, 2.9219, -0.2127, -0.2671], 1e-1);
 723 %!test %# Events option, five output arguments
 724 %!  vopt = odeset ('Events', @fevn, 'NormControl', 'on');
 725 %!  [vt, vy, vxe, vye, vie] = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 726 %!  assert ([vie, vxe, vye], ...
 727 %!    [1.0000, 2.9219, -0.2127, -0.2671], 1e-1);
 728 %!
 729 %! %# test for Jacobian option is missing
 730 %! %# test for Jacobian (being a sparse matrix) is missing
 731 %! %# test for JPattern option is missing
 732 %! %# test for Vectorized option is missing
 733 %! %# test for NewtonTol option is missing
 734 %! %# test for MaxNewtonIterations option is missing
 735 %!
 736 %!test %# Mass option as function
 737 %!  vopt = odeset ('Mass', eye (2,2));
 738 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 739 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 740 %!test %# Mass option as matrix
 741 %!  vopt = odeset ('Mass', eye (2,2));
 742 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 743 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 744 %!test %# Mass option as sparse matrix
 745 %!  vopt = odeset ('Mass', sparse (eye (2,2)));
 746 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 747 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 748 %!test %# Mass option as function and sparse matrix
 749 %!  vopt = odeset ('Mass', @fmsa);
 750 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 751 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 752 %!test %# Mass option as function and MStateDependence
 753 %!  vopt = odeset ('Mass', @fmas, 'MStateDependence', 'strong');
 754 %!  vsol = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 755 %!  assert ([vsol.x(end), vsol.y(end,:)], [5, fref], 1e-1);
 756 %!test %# Set BDF option to something else than default
 757 %!  vopt = odeset ('BDF', 'on');
 758 %!  [vt, vy] = ode54d (@fexp, [0 5], [1; 0], 1, [1; 0], vopt);
 759 %!  assert ([vt(end), vy(end,:)], [5, fref], 0.5);
 760 %!
 761 %! %# test for MvPattern option is missing
 762 %! %# test for InitialSlope option is missing
 763 %! %# test for MaxOrder option is missing
 764 %!
 765 %!  warning ('on', 'OdePkg:InvalidOption');
 766
 767 %# Local Variables: ***
 768 %# mode: octave ***
 769 %# End: ***