octave_packages/optim-1.2.0/cauchy.m

   1 ## Copyright (C) 2011 Fernando Damian Nieuwveldt <fdnieuwveldt@gmail.com>
   2 ## 2012 Adapted by Juan Pablo Carbajal <carbajal@ifi.uzh.ch>
   3 ##
   4 ## This program is free software; you can redistribute it and/or
   5 ## modify it under the terms of the GNU General Public License
   6 ## as published by the Free Software Foundation; either version 3
   7 ## of the License, or (at your option) any later version.
   8 ##
   9 ## This program is distributed in the hope that it will be useful,
  10 ## MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
  11 ## GNU General Public License for more details.
  12
  13 ## -*- texinfo -*-
  14 ## @deftypefn {Function File} {} cauchy (@var{N}, @var{r}, @var{x}, @var{f} )
  15 ## Return the Taylor coefficients and numerical differentiation of a function
  16 ## @var{f} for the first @var{N-1} coefficients or derivatives using the fft.
  17 ## @var{N} is the number of points to evaluate,
  18 ## @var{r} is the radius of convergence, needs to be chosen less then the smallest singularity,
  19 ## @var{x} is point to evaluate the Taylor expansion or differentiation. For example,
  20 ##
  21 ## If @var{x} is a scalar, the function @var{f} is evaluated in a row vector
  22 ## of length @var{N}. If @var{x} is a column vector, @var{f} is evaluated in a
  23 ## matrix of length(x)-by-N elements and must return a matrix of the same size.
  24 ##
  25 ## @example
  26 ## @group
  27 ## d = cauchy(16, 1.5, 0, @@(x) exp(x));
  28 ## @result{} d(2) = 1.0000 # first (2-1) derivative of function f (index starts from zero)
  29 ## @end group
  30 ## @end example
  31 ## @end deftypefn
  32
  33 function deriv = cauchy(N, r, x, f)
  34
  35   if nargin != 4
  36     print_usage ();
  37   end
  38
  39   [nx m]   = size (x);
  40   if m > 1
  41     error('cauchy:InvalidArgument', 'The 3rd argument must be a column vector');
  42   end
  43
  44   n        = 0:N-1;
  45   th       = 2*pi*n/N;
  46
  47   f_p = f (bsxfun (@plus, x, r * exp (i * th) ) );
  48
  49   evalfft  = real(fft (f_p, [], 2));
  50
  51   deriv    = bsxfun (@times, evalfft, 1./(N*(r.^n)).* factorial(n)) ;
  52
  53 endfunction
  54
  55 function g = hermite(order,x)
  56    ## N should be bigger than order+1
  57    N      = 32;
  58    r      = 0.5;
  59    Hnx    = @(t) exp ( bsxfun (@minus, kron(t(:).', x(:)) , t(:).'.^2/2) );
  60    Hnxfft = cauchy(N, r, 0, Hnx);
  61    g      = Hnxfft(:, order+1);
  62 endfunction
  63
  64 %!demo
  65 %! # Cauchy integral formula: Application to Hermite polynomials
  66 %! # Author: Fernando Damian Nieuwveldt
  67 %! # Edited by: Juan Pablo Carbajal
  68 %!
  69 %! Hnx     = @(t,x) exp ( bsxfun (@minus, kron(t(:).', x(:)) , t(:).'.^2/2) );
  70 %! hermite = @(order,x) cauchy(32, 0.5, 0, @(t)Hnx(t,x))(:, order+1);
  71 %!
  72 %! t    = linspace(-1,1,30);
  73 %! he2  = hermite(2,t);
  74 %! he2_ = t.^2-1;
  75 %!
  76 %! figure(1)
  77 %! clf
  78 %! plot(t,he2,'bo;Contour integral representation;', t,he2_,'r;Exact;');
  79 %! grid
  80 %! clear all
  81 %!
  82 %! % --------------------------------------------------------------------------
  83 %! % The plots compares the approximation of the Hermite polynomial using the
  84 %! % Cauchy integral (circles) and the corresposind polynomial H_2(x) = x.^2 - 1.
  85 %! % See http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Contour_integral_representation
  86
  87 %!demo
  88 %! # Cauchy integral formula: Application to Hermite polynomials
  89 %! # Author: Fernando Damian Nieuwveldt
  90 %! # Edited by: Juan Pablo Carbajal
  91 %!
  92 %!  xx = sort (rand (100,1));
  93 %!  yy = sin (3*2*pi*xx);
  94 %!
  95 %!  # Exact first derivative derivative
  96 %!  diffy = 6*pi*cos (3*2*pi*xx);
  97 %!
  98 %!  np = [10 15 30 100];
  99 %!
 100 %!  for i =1:4
 101 %!    idx = sort(randperm (100,np(i)));
 102 %!    x   = xx(idx);
 103 %!    y   = yy(idx);
 104 %!
 105 %!    p     = spline (x,y);
 106 %!    yval  = ppval (ppder(p),x);
 107 %!    # Use the cauchy formula for computing the derivatives
 108 %!    deriv =  cauchy (fix (np(i)/4), .1, x, @(x) sin (3*2*pi*x));
 109 %!
 110 %!    subplot(2,2,i)
 111 %!    h = plot(xx,diffy,'-b;Exact;',...
 112 %!             x,yval,'-or;ppder solution;',...
 113 %!             x,deriv(:,2),'-og;Cauchy formula;');
 114 %!    set(h(1),'linewidth',2);
 115 %!    set(h(2:3),'markersize',3);
 116 %!
 117 %!    legend(h, 'Location','Northoutside','Orientation','horizontal');
 118 %!    if i!=1
 119 %!      legend('hide');
 120 %!    end
 121 %!  end
 122 %!
 123 %! % --------------------------------------------------------------------------
 124 %! % The plots compares the derivatives calculated with Cauchy and with ppder.
 125 %! % Each subplot shows the results with increasing number of samples.